たかまるの雑記

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微分(2)

数学

つづき

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関数

秒数を $x$
ボールが落下する距離を $y$

とした場合、 $x$ と $y$ の関係は

$y=5x^2$

という式になる。
このような、 $x$ の値にともなって $y$ の値が決まる対応関係のことを関数という。

導関数

落下距離を求める関数 $y=5x^2$ から、 $x$ 秒後の瞬間の速度を求める。

$x$ 秒後から $a$ 秒過ぎたときの距離を求める
距離÷時間で速度を求める
\begin{align} a秒後の距離&=(x+a)秒後の落下距離-x秒後の落下距離\\ &=5(x+a)^2-5x^2\\ &=5(x^2+2ax+a^2)-5x^2\\ &=5x^2+10ax+5a^2-5x^2\\ &=10ax+5a^2 \end{align}

\begin{align} a秒後の時間&=a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 \end{align}

\begin{align} 距離\div時間&=(10ax+5a^2)\div a\\ &=10x+a　　　　　　　　　　　　　　　　　　 \end{align}

aを限りなく0に近づける
$lim_{a \to 0}\;\;10x+a　→　10x+0=10x$

$x$ 秒後の瞬間の速度は、秒速 $10x$ メートルになる。

これで新しい関数 $y'=10x$ が得られた。
これを $y=5x^2$ の導関数という。

導関数を求めることを「微分する」、という。

んー、「微分」と「微分する」は違うということ？
わかったようなわからないような。
（数式を左寄せにしたかった…）