微分(1) - たかまるの雑記

Newton 2018年11月号の微分のところを読んだので、まとめてみる。

※微分は英語でdifferential

高い場所からボールを落とす。
手を離してから $x$ 秒後に $5x^2$ メートル落下するとしたとき
1秒後には5メートル落下する。（ $5\times1^2=5$ ）

1秒間で5メートル進むとき、秒速5メートルになるが、
落下速度は加速するため、秒速5メートルは、平均の速度、ということになる。

手を離してから1秒後の瞬間の速度を求めるにはどうすれば良いか。
ここで微分を使う。

このときの落下距離は、 $5(1+a)^2$
$=5\times(1+a+a+a^2)=5\times(a^2+2a+1)=5a^2+10a+5$

ここから1秒後の落下距離の5メートルを引くと、 $a$ 秒が過ぎたときの距離が求まる。

$(5a^2+10a+5)-5=5a^2+10a$

速度は、距離÷時間なので $(5a^2+10a)\div a=5a+10$

ここで $a$ を0に限りなく近づける（極限をとる）と
$\lim_{a\to0}\;5a+10\; →\; 0+10=10$

1秒後の瞬間の速度は、秒速10メートル

なるほど。
わかったようなきはするけど、使うイメージはわかない。
こういうものだということにして次に進もう。

次は導関数。また今度まとめてみよう。

ちなみに、Wikipediaだと、「函数」になってた。別のページに『ウィキペディアではしばしば「函数」と「関数」を互いに書き換える編集合戦が発生しています。』とあった。おもしろいね。